Antoine Etesse: "Hyperbolicité, différentielles de jets et polynômes différentiels"

mercredi 4 oct. 2023, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

435 (UMPA)

L'exposé se veut introductif, l'objectif étant de motiver et présenter les questions sur lesquelles je travaille en ce moment.

 

On commencera par parler d'hyperbolicité au sens de Kobayashi, en faisant un petit tour d'horizon (subjectif et non-exhaustif) de quelques grandes questions dans le domaine, comme par exemple la conjecture de Kobayashi, qui prédit qu'une hypersurface projective lisse générale et de type général est hyperbolique.

 

Un point de vue très algébrique, introduit par Green et Griffiths dans les années 80, puis repris, entre autres, par Demailly, et plus récemment Brotbek, a rendu possible quelques avancées majeures dans le sujet (avec notamment une résolution partielle de la conjecture sus-citée par Brotbek). Ce sera donc l'occasion de parler de différentielles de jets de variétés complexes: il s'agit, essentiellement, de l'objet avec lequel je travaille le plus en ce moment!

 

L'étude des différentielles de jets a, jusqu'alors, essentiellement été quantitatif (c'est-à-dire, au sens propre, relatif à leur quantité), et très peu qualitatif (c'est-à-dire relatif à leur structure algébrique). Ne serait-ce que dans le cas le plus élémentaire de l'espace projectif P^N, leur structure est mystérieuse (même pour N=1!). Ce sera donc l'occasion de parler de l'algèbre graduée

\[

V^Diff=\bigoplus_{d \geq 0} V_d^Diff

\]

des polynômes différentiellement homogènes: cet espace algébrique encapsule les différentielles de jets sur les espaces projectifs. 

 

L'étude de la dimension des pièces graduées n'est déjà pas du tout triviale: il s'agissait essentiellement d'une conjecture, dite de Schmidt—Kolchin; énoncée en algèbre différentielle. Mon dernier travail a consisté en une réponse positive à cette conjecture (qui prédisait l'égalité dim(V_d^Diff)=(N+1)^d, où N est la dimension de l'espace projectif que l'on étudie). On parlera donc de cela, en arrivant assez vite sur ce qui m'intéresse en ce moment: la structure d'algèbre de V^Diff. 

 

Cette dernière question entretient un lien étroit avec, entre autres, la théorie géométrique des invariants, c'est-à-dire, vaguement, l'étude de fonctions (algébriques) qui restent invariantes sous l'action d'un groupe (ici, unipotent). On finira l'exposé en parlant de cela (ouf, on a bien groupes & géométrie, mais on passera son tour pour la dynamique!).