Stabilisation de l'équation des ondes non-linéaire

par Romain Joly (IF - Genoble)

mardi 7 nov. 2023, 14:00 → 16:15 Europe/Paris

Fokko (ICJ)

On considère une équation des ondes amorties 

$${\partial }_{tt}^{2}u+\gamma (x){\partial }_{t}u=\mathrm{\Delta }u+f(u)$$

sur un domaine $\mathrm{\Omega }$ borné avec condition aux bords de Dirichlet. La présence d'un coefficient $\gamma \ge 0$ engendre un amortissement qui fait décroître l'énergie des solutions. Dans le cas linéaire $f=0$, toutes les solutions $u(t)$ convergent vers $0$ quand $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. La vitesse de cette décroissance est fortement liée à la géométrie de la zone où l'amortissement est présent ($\gamma >0$). En présence d'une non-linéarité $f$ vérifiant $f(u)u\le 0$, on peut s'attendre à ce que cette stabilisation vers $0$ reste vraie et avec un taux similaire. Mais la compréhension du cas non-linéaire reste encore incomplète.
Dans cet exposé, je ferai une revue rapide de ce problème et présenterai des outils pour obtenir les premiers résultats de stabilisation non-linéaire avec un amortissement ne vérifiant pas la condition de contrôle géométrique. Il s'agit de travaux en collaboration avec Camille Laurent.