On considère une équation des ondes amorties
$$\partial_{tt}^2u+\gamma(x)\partial_t u = \Delta u + f(u)$$
sur un domaine $\Omega$ borné avec condition aux bords de Dirichlet. La présence d'un coefficient $\gamma\geq 0$ engendre un amortissement qui fait décroître l'énergie des solutions. Dans le cas linéaire $f=0$, toutes les solutions $u(t)$ convergent vers $0$ quand $t$ tend vers $+\infty$. La vitesse de cette décroissance est fortement liée à la géométrie de la zone où l'amortissement est présent ($\gamma>0$). En présence d'une non-linéarité $f$ vérifiant $f(u)u\leq 0$, on peut s'attendre à ce que cette stabilisation vers $0$ reste vraie et avec un taux similaire. Mais la compréhension du cas non-linéaire reste encore incomplète.
Dans cet exposé, je ferai une revue rapide de ce problème et présenterai des outils pour obtenir les premiers résultats de stabilisation non-linéaire avec un amortissement ne vérifiant pas la condition de contrôle géométrique. Il s'agit de travaux en collaboration avec Camille Laurent.
