Valentina Busuioc : "Voyage mathématique autour d'une limite singulière en mécanique des fluides non newtoniens."
Résumé : Dans cet exposé je ferai un review des résultats existants sur une limite singulière en mécanique des fluides non newtoniens: la convergence des équations $\alpha$-Euler et du fluide de grade 2 vers les équations d'Euler et de Navier-Stokes.
Jean-Yves Chemin : "Couches limites d'Ekman autour d'une île circulaire."
Résumé : dans cet exposé, nous expliquerons tout d'abord le problème de la limite asymptotique en rotation rapide d'un fluide faiblement visqueux incompressible dans une topographie fixée et comment ce problème conduit à l'introduction de couches limites. Sans entrer dans les détails techniques, nous expliquerons les problèmes que posent la topographie et comment, dans le cas très particulier d'une topographie invariante par rotation, on peut établir un théorème de convergence.
Baptiste Devyver : "Décomposition de Hodge Lp sur les variétés asymptotiquement Euclidiennes."
Résumé : La décomposition de Hodge affirme que sur une variété Riemannienne compacte, toute forme différentielle lisse se décompose de manière unique en somme d'une forme exacte, d'une forme co-exacte, et d'une forme harmonique. Dans le cas d'une variété Riemannienne non-compacte, des conditions d'intégrabilité à l'infini sur les formes sont nécessaires. Par exemple, on peut se demander si cette décomposition est vraie pour les formes dans les espaces Lp. De façon équivalente, on peut se demander si les projecteurs (de Hodge/Leray) sur les formes exactes et co-exactes sont bornés sur les espaces Lp. Dans le cas p=2, aucune condition géométrique sur la variété autre que la complétude n'est nécessaire. Le cas p différent de 2 est bien plus délicat. Dans cet exposé, nous présenterons une condition optimale sur les exposants p pour avoir la décomposition de Hodge Lp dans le cadre d'une variété asymptotiquement Euclidienne. La preuve fait intervenir la théorie elliptique sur des espaces de Sobolev à poids.
Troy Petitt: "Traces and uniqueness of positive solutions of a weighted porous medium equation."
Abstract: we recall the well-known result by D. Aronson and L. Caffarelli which states that all positive and continuous distributional solutions of the porous medium equation have an initial measure trace which satisfies a certain growth condition. In a recent joint work with G. Grillo, M. Muratori, and N. Simonov, we generalize this result by including a nontrivial weight in the equation which satisfies a power-type decay. This introduces many technical difficulties, which are overcome by a short and completely alternative proof of the result. The proof uses only properties of bounded constructed solutions and local comparison. In the same context, we also generalize a uniqueness result for positive solutions without any growth restrictions by B. Dahlberg and C. Kenig. By these results we have completed the so-called Widder theory for a weighted porous medium equation. That is, there is a bijection between the set of admissible measure initial data and the set of positive solutions.
