Une célèbre conjecture de Goldfeld prédit qu'exactement la moitié des valeurs de la fonction $L$ associée à une courbe elliptique, tordue par des caractères quadratiques sont non-nulles. En parallèle, une conjecture de David-Fearnly-Kisilevsky prédit que 100 % des valeurs d'une fonction $L$ tordue par des caractères d'ordre $d > 2$ (fixé) sont non-nulles. Dans cet exposé, nous allons expliquer une méthode $p$-adique pour obtenir les premiers progrès généraux vers les conjectures pour les $d$ généraux.
En particulier, dans le cas quadratique, nous obtenons la meilleure proportion de non-annulation pour 100 % des courbes elliptiques (en améliorant un résultat d'Ono).
Nous obtenons aussi des résultats vers la non-annulation simultanée.
Cette présentation est fondée sur un travail en collaboration avec Daniel Kriz.
Régis de la Bretèche
