Singularités de fonction convexes et stabilité de la mesure image par une application de transport

par Quentin Mérigot

lundi 16 oct. 2023, 11:00 → 12:00 Europe/Paris

3L15 (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay)

Dans ce travail, en commun avec Alex Delalande et Guillaume Carlier, nous nous donnons une fonction convexe phi sur l'espace euclidien, que nous supposons lipschitzienne, et nous considérons l'application T = \nabla\phi. L'application T réalise le transport optimal entre n'importe quelle mesure de probabilité mu sur l'espace et son image T_{\#\mu}. Nous montrons que malgré les discontinuités de T, au voisinage d'une densité bornée et à support compact, l'application mu -> T_{\#}\mu a un comportement Hölder, avec des exposants optimaux. Cette étude est motivée par des applications du transport optimal en statistiques, et notamment le calcul de barycentre en transport linéarisé (LOT). Notre preuve repose sur une nouvelle borne sur la "taille" des ensembles singuliers d'une fonction convexe et lipschitzienne sur un domaine borné, raffinant des résultats antérieurs d'Alberti.