Cette thèse s’inscrit dans les domaines du calcul des variations, des équations aux dérivées partielles elliptiques et de la théorie géométrique de la mesure. D'une part, nous étudions l'unicité des solutions de problèmes dégénérés et/ou singuliers dans le calcul des variations. Nous prouvons un premier résultat dans le cadre de fonctionnelles invariantes par translations. Après avoir montré quelques contre-exemples, nous utilisons une stratégie différente pour prouver l'unicité des solutions dans un cadre plus large. Cette preuve est basée sur un résultat de régularité lipschitzienne globale des solutions et sur une étude de leurs ensembles de niveau. D'autre part, nous étudions la régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques dégénérées. Après avoir discuté de quelques applications sur la régularité locale des solutions et leurs ensembles de niveau, nous décrivons les éléments clés de la preuve. Le premier ingrédient est une bonne régularisation de notre problème. Ensuite, nous prouvons une estimation de Sobolev uniforme en notre paramètre de régularisation que nous combinons avec des principes de maximum afin d'obtenir un module de continuité uniforme.
