Familles de métriques hermitiennes canoniques

par M. Chung-Ming Pan (Institut de Mathématiques de Toulouse)

lundi 19 juin 2023, 14:30 → 17:30 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux métriques singulières canoniques et spéciales sur une famille de variétés compactes complexes possiblement non-kählériennes. 

Le premier résultat concerne l'existence de métriques de Gauduchon "singulières". Sous certaines hypothèses sur les singularités, nous prouvons qu'une telle variété singulière compacte admet une métrique de Gauduchon bornée dans la classe conforme d'une métrique hermitienne lisse fixée. Ceci généralise le théorème de Gauduchon dans le cas singulier. D'autre part, dans chaque classe conforme, nous montrons également l'unicité des métriques de Gauduchon bornées à une constante multiplicative près. De plus, nous obtenons une propriété d'extension de la $(n-1)$-ème puissance d'une métrique de Gauduchon bornée comme courant plurifermé positif sur une variété singulière. 

Dans la deuxième partie, nous cherchons à établir des estimations uniformes pour les solutions d'équations de Monge-Ampère complexes pour une famille de variétés hermitiennes. Ensuite, nous montrons une estimation uniforme $L^1$ des fonctions quasi-plurisousharmoniques sup-normalisées quand la famille est un lissage d'une variété hermitienne qui n'a que des singularités isolées. La preuve s'appuie sur la théorie du pluripotentiel et un contrôle uniforme des facteurs conformes de Gauduchon. Combinée à l'estimation uniforme $L^p$ des densités canoniques, nous obtenons un contrôle uniforme des solutions des familles d'équations de Monge-Ampère complexes dans de tels cas.