Autour de la persistance de processus auto-régressifs d'ordre 1

par Titouan Donnart (Université de Lille)

vendredi 5 juin 2026, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

E2 1180 (Tours)

Un processus auto-régressif d'ordre 1 (AR(1)) est défini par une relation de récurrence faisant intervenir un paramètre réel \theta et des variables aléatoires appelées "innovations". Le problème que l'on regarde est celui de la persistance, c'est-à-dire la probabilité p_n que le processus persiste à rester positif ou nul de l'instant 0 jusqu'à l'instant n.
Pour une marche aléatoire simple (\theta = 1), le théorème de Sparre Andersen (1954) donne le comportement exact de cette probabilité sous certaines hypothèses et montre que la suite est complètement monotone (elle s'écrit sous la forme de moments d'une mesure de probabilité sur [0,1]).
L'objectif est de généraliser le plus possible ces résultats dans le cadre des processus AR(1). Pour ceux-ci des résultats plus récents (Hinrichs, Kolb et Wachtel, 2020) montrent que la probabilité de persistance décroît asymptotiquement de manière géométrique. Cette approche, comme d'autres, traduit ce problème probabiliste en un problème de théorie spectrale (il faut comprendre la distribution des valeurs propres de certains opérateurs) et d'analyse complexe.

Dans un papier (actuellement en pré-publication) réalisé avec mon directeur de thèse Thomas Simon, nous avons démontré quelques résultats lorsque le paramètre \theta est positif :
- Si les innovations ont une densité log-concave, alors la suite p_n est log-convexe, ce qui est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la complète monotonie.
- Si les innovations suivent une loi de Laplace, alors la suite p_n est complètement monotone et on a une écriture semi-explicite de la mesure de probabilité sous-jacente.

Je terminerai (si le temps le permet) par quelques questions encore ouvertes qui me semblent intéressantes.