Nombres premiers avec un miroir presque premier

par Cathy Swaenepoel (Université Paris Cité)

lundi 22 sept. 2025, 11:00 → 12:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Gaston Darboux (IHP - Bâtiment Borel)

Soit $b\ge 2$ un nombre entier. Pour tout nombre entier naturel $n$, nous appelons miroir de $n$ en base $b$ le nombre obtenu en renversant l'ordre des chiffres de $n$. L'existence d'une infinité de nombres premiers dont le miroir est également premier est un problème ouvert. Dans cet exposé, nous présenterons un travail en collaboration avec Cécile Dartyge et Joël Rivat, dans lequel nous montrons qu'il existe une infinité de nombres premiers dont le miroir est presque premier.  Plus précisément, nous montrons qu'il existe ${\mathrm{\Omega }}_b\in \mathbb{N}$ explicite et $c_b>0$ tels que, pour au moins $c_b{b}^{\lambda }{\lambda }^{-2}$ nombres premiers $p\in [b^{\lambda -1},b^{\lambda }[$, le miroir de $p$ a au plus ${\mathrm{\Omega }}_b$ facteurs premiers. Notre preuve repose sur des méthodes de crible et sur l'obtention d'un résultat dans l'esprit du théorème de Bombieri-Vinogradov concernant la répartition dans les progressions arithmétiques du miroir des nombres premiers.