Estimation et modélisation dans les processus de Markov déterministes par morceaux : du protocole TCP à la croissance bactérienne

par Mme Nathalie Krell (IRMAR - U. de Rennes)

mardi 10 juin 2025, 14:15 → 15:15 Europe/Paris

UTC - GI

Cet exposé sera consacré à l’étude de modèles de type processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP), utilisés pour décrire des phénomènes dynamiques où l’aléa intervient ponctuellement. Dans une première partie, je présenterai un travail en collaboration avec Emeline Schmisser, consacré à l’estimation non paramétrique du taux de saut d’un PDMP à transition déterministe, à partir de l’observation de la chaîne de Markov embarquée $(Z_k)$. Nous y construisons un estimateur adaptatif du taux de saut $\lambda$ et établissons une borne de risque en norme $L^2$ ainsi qu’un résultat quasi-minimax. Le cadre théorique est illustré par des simulations dans deux contextes classiques d’application : le protocole TCP et la croissance de bactéries marquées.

Dans une seconde partie, je m’intéresserai à un modèle de croissance bactérienne basé sur un processus de branchement multi-type de type PDMP. Chaque cellule croît de manière exponentielle avec un taux individuel, puis se divise à un taux dépendant de sa taille. Ce travail prolonge un modèle introduit par Doumic, Hoffmann, Krell et Robert (2015), en intégrant deux types cellulaires selon la position du pôle. Nous montrons que le processus est bien défini, satisfait une formule « many-to-one », et que sa mesure empirique moyenne converge vers une équation de croissance-fragmentation à variables d’état multiples. Je conclurai par des perspectives sur l’estimation du taux de division dans ce cadre, en collaboration avec Benoîte de Saporta, Bertrand Cloez et Tristan Roget.