La théorie spectrale des opérateurs de Toeplitz trouve ses origines dans les travaux classiques de Szegő sur la répartition des valeurs propres des matrices de Toeplitz, et a été étendue par la suite par Boutet de Monvel et Guillemin aux variétés complexes générales. Cet exposé poursuit deux objectifs. Tout d’abord, nous présentons une généralisation de ces résultats dans le cadre de mesures de Bernstein-Markov arbitraires sur les variétés complexes. Ensuite, nous étudions le comportement asymptotique de la plus petite valeur propre des opérateurs de Toeplitz, un problème qui, de manière inattendue, se révèle étroitement lié à la géométrie de Mabuchi, initialement introduite en lien avec les métriques kählériennes à courbure scalaire constante. L’objectif est de montrer comment les techniques issues de la géométrie kählérienne et de la pluripotentialité émergent naturellement dans l’analyse asymptotique des opérateurs de Toeplitz.
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