On dit qu'une variété projective complexe est (Brody) hyperbolique si elle n'admet pas de courbe entière, c'est-à-dire d'application holomorphe non constante partant de la droite complexe. La conjecture de Kobayashi affirme qu'une hypersurface projective générique de grand degré doit être hyperbolique ; on s'attend même à ce que la borne requise sur le degré soit linéaire en la dimension de l'hypersurface. La première preuve complète de cette conjecture a été donnée par Brotbek en 2017, avec une borne très élevée. Il est devenu clair au fil des années qu'une manière efficace de prouver de tels résultats est de passer par les techniques de jets, en utilisant la stratégie des champs de vecteurs obliques de Siu (travaux de Diverio-Merker-Rousseau, Darondeau, Brotbek, Deng, Demailly, Riedl-Yang...) Pour appliquer ces méthodes, il convient de choisir un espace de jets adéquat : jusqu'à assez récemment, on employait l'espace de jets de Demailly, ce qui fournissait des bornes au moins exponentielles en la dimension.
Un développement assez spectaculaire dans la dernière décennie a consisté en la construction par Bérczi-Kirwan d'un certain espace de jets par des méthodes de quotients GIT non-réductifs: cela leur a permis d'obtenir une borne polynomiale en le degré. Comme je vais l'expliquer au cours de cet exposé, il est en fait possible d'utiliser un espace de jets très simple, connu depuis au moins les années 80 (l'espace de jets de Green-Griffiths) : de façon peut-être un peu étonnante, on retrouve aussi une borne polynomiale.
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