Complexes de Herr Lubin-Tate perfectoïde, ou comment interpréter la cohomologie de groupes light condensés.

par Nataniel Marquis (Münster)

jeudi 17 sept. 2026, 11:15 → 12:15 Europe/Paris

En 1998, Laurent Herr découvre une construction permettant de retrouver la cohomologie galoisienne d'une représentation modulo p du groupe de Galois absolu G_K d'un corps local p-adique à partir du (φ, Γ)-module cyclotomique associé. Avec Dat Pham, nous nous sommes intéressés à l'existence d'un tel complexe pour les (φ_q,O_K^x)-modules perfectoïdes fournis par la théorie de Lubin-Tate, à l'image des travaux de Kupferer-Venjakob et Schneider-Venjakob. L'utilisation des perfectoïdes a rapidement fait émerger une stratégie, sous réserve d'existence d'une cohomologie de groupes continus possédant de bonnes propriétés (expression comme foncteur dérivé, suite spectrale de Horschild-Serre, etc), dont certaines font défaut pour le calcul classique par les cochaînes continues. En s'inspirant de travaux de Barthel-Schlank-Stapelton-Weinstein et de Brink, il semblait avenant d'étudier la cohomologie de groupes dans le topos des groupes abéliens light condensés, dont nous avons écrit une construction détaillée (sans problèmes ensemblistes ni gros ∞-topoi !). Elle est construite pour vérifier les jolies propriétés ci-dessus. La difficulté consiste à l'interpréter dans un langage classique, par exemple déterminent les cas où elle calcule effectivement la cohomologie de groupes continus. L'exposé commencera par une introduction au complexe de Herr, ainsi qu'une exposition de la stratégie dans le cas perfectoïde. Dans un deuxième temps, je détaillerai les propriétés de la cohomologie de groupes light condensés sur les modules solides, en insistant sur les résultats frappants et les propriétés clés; j'espère donner une bonne idée de ses forces et ses limites, pour que l'auditoire sorte avec une prise sur ce nouvel objet. Si le temps le permet, je parlerai des autres résultats que notre stratégie démontre ou démontera : complexe de Herr pour la cohomologie d'Iwasawa et versions multivariables.