Le calcul fonctionnel quadratique $H^\infty$

par Bernhard Haak (IMB - Université de Bordeaux)

lundi 12 janv. 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Amphi Schwartz

 

Pour un opérateur sectoriel — par exemple le générateur négatif d’un semi-groupe $(T(t))_{t \ge 0}$ — ou pour un opérateur de type \emph{strip}, comme le générateur d’un groupe $(U(t))_{t \in \mathbb{R}}$, il s’agit de comprendre le lien entre la
bornétude du calcul fonctionnel $H^\infty$, exprimée par une inégalité du type
$$
        \| f(A) \| \le C \, \| f \|_\infty,
$$
et des estimations de fonctions carrées. Dans le cas le plus simple — celui des espaces de Hilbert   — ces estimations prennent la forme
$S(f)  \le C \, \| f \| $ où
$$
   S(f) = \left( \int_0^\infty \| \varphi(tA) f \|^2 \, \frac{dt}{t} \right)^{1/2}.
$$
Cette théorie s’étend naturellement au cadre des espaces de Banach à l’aide de sommes aléatoires Gaussiennes, faisant naturellement apparaître  certaines propriétés géométriques des espaces de Banach.

L’exposé est basé sur plusieurs collaborations, principalement avec Markus Haase (Kiel). Notre approche se distingue en plusieurs points essentiels de l’approche "classique", notamment dans l'évitement d'intégrales de Pettis en faveur d'un regard sur les fonctions carrées comme un "calcul fonctionnel", appelé "quadratique" -- d'où le titre.

Notre approche permet de redémontrer des résultats connus en "3 line proofs" très clairs.  Nous présenterons, dans le même esprit  également des applications à la régularité maximale $L^p$, outil important en EDP.