Introduction à la théorie de la persistance à travers un exemple d'application

• Steve Oudot

Room: Amphithéâtre Becquerel Dans cet exposé introductif, nous donnerons des éléments de contexte sur l'analyse topologique de données et son développement. Puis, de manière informelle, nous présenterons les idées qui sous-tendent la théorie de la persistance topologique, qui rassemble les fondements mathématiques du domaine. Pour cela nous prendrons l'exemple d'une application en regroupement (clustering) de données.

Homologie

• Vincent Humilière

Room: Amphithéâtre Becquerel La théorie de l'homologie associe à tout espace topologique des groupes, de telle sorte que si deux espaces sont homéomorphes alors les groupes associés sont isomorphes. C'est un outil central de topologie dont l'introduction remonte à Poincaré et dont les applications sont innombrables. Ils jouent aussi un rôle clé en analyse topologique des données. Dans cet exposé, nous verrons ce que sont ces groupes et ce qu'ils nous disent sur les espaces étudiés.

Théorie de la persistance (1)

• Steve Oudot

Room: Amphithéâtre Becquerel Dans cet exposé nous utiliserons l'homologie pour introduire formellement la théorie de la persistance topologique, notamment dans ses aspects algébriques. Nous présenteros ses principaux objets d'étude, appelés modules de persistance, et nous étudierons leurs propriétés de decomposition. Ces décompositions forment la base des descripteurs utilisés en analyse topologique de données, appelés diagrammes de persistance.

Théorie de la persistance (2)

• Mathieu Carrière

Room: Amphithéâtre Becquerel Une composante centrale de la théorie de la persistance est le théorème de stabilité, qui garantit que des diagrammes de persistance issus des sous-niveaux de fonctions proches en norme infinie, sont eux-mêmes proches au sens de la distance bottleneck. Dans cet exposé, nous étudierons différentes répercussions de ce théorème en analyse de données et en inférence géométrique et statistique, ainsi que sa version algébrique définie au niveau des modules de persistance.

Application de la persistance en géométrie

• Vincent Humilière

Room: Amphithéâtre Becquerel De manière surprenante, les idées issues de l'analyse topologique des données, et la théorie de la persistance en particulier, ont eu des applications très récentes en mathématiques fondamentales. Nous en verrons deux. L'une concerne la dynamique des transformations d'une surface qui préservent l'aire, et l'autre la géométrie des domaines nodaux, c'est-à-dire des ensembles délimités par les zéros des fonctions propres du laplacien.

Application de la persistance en apprentissage automatique

• Mathieu Carrière

Room: Amphithéâtre Becquerel La principale application de la théorie de la persistance est en analyse de données, où les diagrammes de persistance sont utilisés pour construire et améliorer des modèles prédictifs calibrés à partir d'un ensemble fini de données. Dans cet exposé, nous formaliserons les bases de l'apprentissage automatique supervisé et non-supervisé, ainsi que les différentes approches permettant l'incorporation des diagrammes de persistance dans les modèles standards via les méthodes à noyaux.

Perspectives (discussion) Room: Amphithéâtre Becquerel