J'introduirai la notion de mesure spectrale associée à un invariant sur une catégorie tensorielle, et la calculerai pour certaines catégories exotiques telles que la catégorie des représentations du "groupe symétrique" St pour un nombre complexe t de Deligne. J'expliquerai ensuite comment en déduire des démonstrations abstraites de quelques résultats très classiques en théorie de probabilités, par exemple le fait que le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire en n lettres converge vers une distribution de Poisson lorsque n tend vers l'infini. Il s'agit d'un travail en commun avec Arthur Forey et Emmanuel Kowalski.