Séminaire d'arithmétique à Lyon

Les conjectures principales supersingulières, la conjecture de Sylvester et la conjecture de Goldfeld

par Daniel Kriz

Europe/Paris
Description

Je présenterai un théorème « p-converse » à rang 0 et 1 pour les 
courbes elliptiques sur les rationnels à multiplication complexe (CM) 
dans le cas où le nombre premier p est ramifié dans le corps CM. Ce 
théorème a des applications à deux problèmes classiques d'arithmétique: 
il vérifie la conjecture de Sylvester de 1879 sur les nombres premiers 
exprimables comme une somme de deux cubes rationnels et établit la 
conjecture de Goldfeld pour la famille des nombres congruents. La 
démonstration repose sur la formulation et la preuve d'une nouvelle 
conjecture principale d'Iwasawa, qui à leur tour utilisent de nouvelles 
méthodes issues des interactions entre les objets théoriques d'Iwasawa 
et la théorie de Hodge p-adique relative sur les courbes de Shimura à 
niveau infini.