Je présenterai un théorème « p-converse » à rang 0 et 1 pour les
courbes elliptiques sur les rationnels à multiplication complexe (CM)
dans le cas où le nombre premier p est ramifié dans le corps CM. Ce
théorème a des applications à deux problèmes classiques d'arithmétique:
il vérifie la conjecture de Sylvester de 1879 sur les nombres premiers
exprimables comme une somme de deux cubes rationnels et établit la
conjecture de Goldfeld pour la famille des nombres congruents. La
démonstration repose sur la formulation et la preuve d'une nouvelle
conjecture principale d'Iwasawa, qui à leur tour utilisent de nouvelles
méthodes issues des interactions entre les objets théoriques d'Iwasawa
et la théorie de Hodge p-adique relative sur les courbes de Shimura à
niveau infini.