Soit $V$ un germe d'une singularité isolée d'hypersurface complexe de dimension n. Le nombre de Milnor, $\mu$, est un invariant important qui, dans un certain sens, contrôle la topologie de $V$. Plus précisément: pour le cas $n\neq 2$, Lê et Ramanujam démontrent en 1976 que si $W$ est une déformation $\mu$-constante de $V$, alors $W$ est une déformation à type topologique constant. Le cas $n=2$ est un problème encore ouvert.
Etant donnée une déformation $\mu$-constante $W$, on se pose la question suivante: est-ce que $W$ admet une résolution simultanée plongée? Il est important de mentionner que si $W$ admet une résolution simultanée plongée, alors $W$ est une déformation à type topologique constant. Dans le cas de déformations non dégénérées, nous démontrons que la question a une réponse affirmative. Dans le processus de démonstration de ce résultat, nous donnons une solution compl\`ete au problème de V. Arnold sur la monotonie du nombre de Newton ($\rm N^{\circ}$$1982-16$ de Arnold's Problem) dans le cas de polyèdres commodes.
Soit $H$ une section $i$-plane générale de $V$. Teissier prouve que le nombre $\mu^{i}(V):=\mu(H\cap V)$ est indépendant du choix de $H$. On pose:
$$\mu^*V):=(\mu^{n+1}(V), \mu^{n}(V),...,\mu^{1}(V)).$$
Si $W$ une déformation non-dégénérée $\mu^*$-constante, il est normal de penser qu'il existe des résolutions simultanées plongées de $W$ qui satisfont certaines conditions. Un problème est de trouver ces conditions.
Dans cet exposé, nous introduirons les notions de base, nous donnerons quelques idées de la démonstration du résultat principal et nous parlerons de quelques résultats récents dans le cas des déformations $\mu^*$-constantes.
Travail en collaboration avec : H. Mourtada et M. Spivakovsky.
Mark Spivakovsky