Résoudre un problème inverse en théorie additive des nombres consiste à fournir une description fine de la structure d'ensembles satisfaisant une condition contraignante portant sur la taille de leur somme. Cette description sera d'autant plus fine que la contrainte est proche de l'optimal. Par exemple la somme
Le problème inverse associé consiste à décrire les paires
L'environnement générique est celui d'un groupe
Il faut y définir la notion de taille d'une partie et comparer les tailles de
L'autre fameux théorème de Kneser porte sur les paires critiques de suites d'entiers que l'on mesure à travers leur densité asymptotique inférieure. Kneser (1956) a ensuite établi un énoncé qui porte sur les sous-ensembles de groupes abéliens localement compacts munis de leur mesure de Haar. Beaucoup plus récemment Jin (2006, 2007, 2010) et Griesmer (2013) ont démontré des résultats en termes de densité, notamment dans les groupes abéliens dénombrables.
Le long de cet exposé, je donnerai des éléments historiques et traiterai un cas particulier du théorème de Kneser qui se situe à l'interface des résultats initiaux de Kneser et ceux de Griesmer, à savoir celui des groupes abéliens
Ce dernier travail a été conduit en collaboration avec P-Y. Bienvenu (Dublin).
Le parti pris dans cet exposé sera de mettre en perspective quelques outils "élémentaires" issus de différentes théories (groupes, graphes, analyse de Fourier, etc) pouvant être utilisés pour appréhender ce type de questions de nature combinatoire.