La recherche de métriques Kähler-Einstein sur des variétés complexes joue un rôle moteur en géométrie complexe et algébrique. Si le problème a été largement étudié dans le monde compact, beaucoup reste à découvrir dans le cas non-compact. En guise d’introduction de l’exposé, je vais considérer le problème de métriques Kähler Ricci-plates coniques sur un cône de Fano lisse, i.e. un cône affine sur une variété de Fano lisse. L’équation d’une métrique Ricci-plate conique se ramène à l’équation d’une métrique de Sasaki-Einstein sur la base du cône, ou de manière équivalente, à une équation de type Kähler-Einstein sur la structure kählérienne transversale, induite par un feuilletage. Je vais ensuite transposer toute l’histoire dans le contexte singulier, et présenter un théorème de régularité, à savoir si le cône est singulier, la métrique Ricci-plate au sens faible éventuelle est en fait lisse sur le lieu régulier du cône.