La forte minimalité est une propriété centrale en théorie des
modèles de la stabilité qui joue un rôle important dans différentes
applications de cette dernière à l’étude des équations différentielles
algébriques.
Dans sa forme la plus compacte, une équation différentielle algébrique
(E) est fortement minimale si pour toute solution de (E), le degré de
transcendence du corps différentiel engendré par cette solution au
dessus de tout corps différentiel contenant les paramètres de
l’équation (E) ne peut prendre que deux valeurs possibles: il est soit
nul, soit égal à l’ordre de l’équation.
Dans mon exposé, je discuterai différents aspects de cette notion puis
je présenterai un résultat d’abondance pour les équations fortement
minimales: pour toute famille "suffisament générale" (en un sens qui
sera explicité dans mon exposé) d’équations différentielles algébriques
autonomes, l’équation à paramètre générique est fortement minimale.
On peut énoncer des propriétés arithmétiques non triviales
pour les quotients de factorielles et leurs séries génératrices, à
l'aide d'une fonction en escalier très simple, la fonction delta de
Landau. De tels résultats se généralisent aux q-analogues classiques
de ces quotients, mais aussi aux quotients de symboles de Pochhammer
qui interviennent dans les fonctions hypergéométriques généralisées.
Cependant, dans ce dernier cas, il faut introduire d'autres fonctions
arithmétiques plus compliquées, dues à Dwork et Christol. Nous verrons
comment étendre cela aux quotients de q-analogues des symboles de
Pochhammer qui interviennent dans les fonctions hypergéométriques
basiques. Ceci nous permettra de donner d'une part la valuation
cyclotomique des q-symboles de Pochhammer et d'autre part un critère
de q-intégralité pour leurs quotients, constituant des q-analogues
appropriés de deux résultats de Christol : la valuation p-adiques des
symboles de Pochhammer et le critère de N-intégralité pour les séries
hypergéométriques.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Boris Adamczewski, Jason
Bell, et Eric Delaygue.
Dans la première partie de mon exposé je vais faire un petit
survol de comment l'assistant de preuve Lean est capable de
"comprendre" des définition d'objets mathématiques, des énoncés de
théorèmes, et des preuves. Je parlerai ensuite d'un travail commun
avec A. Baanen, S. Daamen et Ashvni N., où on a formalisé une preuve
de la finitude du groupe de classes d'idéaux pour un corps global en
Lean.
Soit Z une hypersurface quadratique de R^n définie sur Q et contenant des points dont les coordonnées sont linéairement indépendantes sur Q (par exemple la sphère unité). Parmi ces points, nous déterminons la plus grande valeur possible prise par l'exposant d'approximation simultanée. Nous montrons qu'elle ne dépend que de la dimension n et de l'indice de Witt (sur Q) de la forme quadratique définissant Z. Dans cet exposé, nous présenterons notre résultat principal puis nous expliquerons les idées derrière les deux constructions sur lesquelles repose notre preuve. C'est un travail conjoint avec Damien Roy.