«Le théorème du corps gauche de Zilber»
(avec Frank Wagner)
Le théorème du corps est l'observation qu'un groupe de rang de Morley fini connexe, résoluble, et non nilpotent, interprète un corps infini. Par d'autres résultats classiques, le corps est commutatif et même algébriquement clos ; ces derniers phénomènes sont liés au rang de Morley fini, et n'ont pas la généralité souhaitable.
Le théorème du corps est souvent vu comme corollaire du «théorème d'engendrement par des indécomposables» mais c'est une erreur car il en est indépendant. Il a quelques variantes, des théorèmes de linéarisation d'actions de groupes.
Je donnerai un énoncé qui généralise naturellement tous les résultats «à la Zilber» connus jusqu'à présent*. C'est un résultat de linéarisation de bimodules, dans un contexte bien plus vaste que les théories de rang de Morley fini. En général on interprète un corps gauche.
Prérequis : notion de définissabilité ; «lemme de Schur» en théorie des représentations (l'anneau des endomorphismes qui commutent avec une représentation irréductible est en fait un corps gauche).
*Exposé suivi d'une discussion passionnée avec mon coauteur sur les endogénies.