Dans la fin des années 1990, Voevodsky amorça une unification des méthodes algébriques et topologiques. Mélangeant géométrie algébrique et théorie de l'homotopie, Morel et Voevodsky développèrent ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie de l'homotopie motivique dont l'idée maîtresse était d'appliquer les techniques de topologie algébrique classique à l'étude des schémas (la droite affine A1 jouant alors le rôle de l'intervalle unité [0,1]). L'objectif principal de cette nouvelle théorie se concrétisa par la démonstration de la conjecture de Milnor par Voevodsky (notamment grâce aux travaux de Rost sur la théorie des modules de cycles), ce qui lui a valu la médaille Fields en 2002.
Dans cet exposé, on commencera par des rappels d'A1-homotopie pour ensuite présenter quelques conséquences de l'étude des faisceaux et des modules de Milnor-Witt en géométrie birationnelle.