Dominique Malicet, Guillaume Poly, et moi-même avons récemment donné une preuve courte du cas général de la conjecture du produit gaussien. Dans un premier temps, je présenterai l'histoire de cette conjecture, des inégalités apparentées et des cas connus. Ensuite je présenterai en détail notre preuve qui se base sur une méthode d'optimisation directe et l'intégration par partie gaussienne.