Je présenterai un modèle de jeu à champs moyen, dont la notion a été introduite en 2006 par J-M. Lasry et P-L. Lions, où chaque agent choisit une trajectoire constante par morceaux qui minimise un coût composé du nombre de « sauts » et d’une intégrale en temps d’une fonction suffisamment régulière qui dépend du temps, de la position et de la densité. Ce problème est motivé par la réalisation d’un modèle de population habitant une ville et déménageant selon leur préférence et la densité. Chaque « saut » correspond ainsi à un déménagement d’une adresse à une autre.
Nous étudierons tout d’abord le modèle d’un point de vue Lagrangien où nous considérons les mesures de probabilités sur les trajectoires de chaque agent. Ensuite, nous verrons que le problème peut être abordé d’un point de vue Eulérien où on considère l’évolution de la densité de la population. Cette formulation du problème permet de faire apparaître une régularité Lipschitz en temps à valeurs dans $L^2$ de la densité optimale.