RÉSUMÉ :
L'objet de ce mini-cours est d'une part de présenter le paysage des théories cohomologiques p-adiques, et d'autre part de les appliquer au comptage de points sur les courbes hyperelliptiques. L'exposé se veut aussi accessible que possible.
Nous commencerons par introduire, dans le cas des variétés affines, la cohomologie de Monsky−Washnitzer. Afin de généraliser cette construction à d'autres familles de variétés algébriques, nous définirons le complexe de de Rham−Witt ainsi que sa version surconvergente. Nous expliquerons ensuite en quoi ils permettent de calculer les cohomologies cristalline et rigide. Enfin, nous verrons comment l'algorithme de Kedlaya emploie ces notions afin de compter le nombre de points d'une courbe hyperelliptique.
PRÉREQUIS :
Nécessaires :
- Différentielles de Kähler, complexe de de Rham
- Schémas
Recommandés :
- Catégories, catégories dérivées
- Courbes hyperelliptiques
- Points de Weierstraß
- Variétés lisses, morphismes étales
- Vecteurs de Witt
Charlotte Hardouin, Jean Gillibert