Topologie locale des hypersurfaces algébriques complexes aléatoires

par Damien Gayet

vendredi 29 avr. 2022, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

112 (ICJ)

L'espace projectif complexe $\mathbb C P^n$ est le lieu d'un phénomène particulièrement frappant et propre au monde complexe : si $P$ est polynôme homogène complexe générique de degré $d$, alors la topologie de son lieu d'annulation $Z(P)\subset \mathbb C P^n$ ne dépend que de $d$ et pas de $P$. Un second phénomène encore plus étonnant est que seul le $(n-1)$-ème nombre de Betti de $Z(P)$ dépend de $d$. En particulier, toutes les hypersurfaces complexes sont connexes, dès que $n$ est plus grand que 2. Si maintenant on fixe une boule $B$ dans $\mathbb C P^n$, il est bien évident qu'on ne peut rien dire, par exemple, du nombre de composante connexes de $B\cap Z(P)$. Mais si l'on prend $P$ au hasard, on pourrait imaginer que les propriétés miraculeuses globales de $Z(P)$ susmentionnées s'expriment plus faiblement et statistiquement dans $B$. J'expliquerai que c'est bien le cas.