Les équations de Maxwell en régime harmonique jouent un rôle essentiel dans de nombreuses applications mettant en jeu le champ électromagnétique.
L’approximation numérique de la solution, souvent nécessaire en pratique, est particulièrement délicate lorsque la fréquence est élevée. Dans cet exposé,
on se concentrera sur la méthode des éléments finis, et en particulier, on s’intéressera à l’estimation d’erreur a posteriori qui permet non seulement de contrôler l’erreur de façon robuste, mais aussi de raffiner itérativement le maillage pour obtenir une discrétisation localement adaptée. Dans ce contexte, les équations de Maxwell présentent deux difficultés particulières : (a) à haute fréquence, la formulation faible des équations n’est pas coercive et (b) le cadre fonctionnel associé à l’opérateur rotationnel est substantiellement plus compliqué que celui des équations d’ondes scalaires. Le but de l’exposé est d’expliquer simplement où ces deux difficultés se manifestent, et comment elles sont traitées. Pour se faire on procédera en 3 temps. (i) On verra d’abord comment les estimateurs a posteriori sont construits dans le cadre le plus simple du problème (coercif) de Poisson. (ii) On traitera ensuite l’aspect haute fréquence en considérant un problème de propagation d’ondes scalaires modélisé par l’équation d’Helmholtz, et enfin, (iii) on regardera les adaptations nécessaires pour traiter les équations de Maxwell. On conclura la présentation avec des exemples numériques illustrant les résultats principaux.
Romain Duboscq, Ariane Trescases