Arbres et marches aléatoires (1)

• Igor Kortchemski (CNRS, École polytechnique)

Room: Amphithéâtre Becquerel Nous nous intéresserons à de grands arbres aléatoires qui décrivent la généalogie d'une population se reproduisant de manière asexuée. Ce modèle a été introduit à la fin du 19ème siècle par Bienaymé et Galton & Watson pour prédire l'extinction des noms nobles en Angleterre. Nous étudierons la géométrie de ces arbres en les codant par des marches aléatoires conditionnées, que nous analyserons à leur tour en utilisant des arguments combinatoires et analytiques.

Probabilités sur le graphe complet : les exemples de l'arbre couvrant uniforme et minimal (1)

• Grégory Miermont (ENSL)

Room: Amphithéâtre Becquerel À quoi ressemble un grand arbre choisi au hasard ? Cette question n'a évidemment de sens que si l'on spécifie la loi d'un tel objet, c'est-à-dire la façon dont on le choisit au hasard. Une des façons les plus naturelles est de choisir un tel arbre uniformément parmi tous les arbres sur un ensemble de <i>n</i> sommets, ou bien de le choisir de façon à minimiser une fonction de poids aléatoire définie sur les <i>n</i>(<i>n</i>-1)/2 arêtes joignant ces n sommets. L'étude de la géométrie de ces objets aléatoires est rendue possible par l'utilisation d'algorithmes simples permettant de les engendrer, et sera l'occasion de rencontres inattendues avec le fameux «&nbsp;paradoxe des anniversaires&nbsp;», le mouvement brownien, et ζ(3)&nbsp;!

Probabilités sur le graphe complet : les exemples de l'arbre couvrant uniforme et minimal (2)

• Grégory Miermont (ENSL)

Room: Amphithéâtre Becquerel

Arbres et marches aléatoires (2)

• Igor Kortchemski (CNRS, École polytechnique)

Room: Amphithéâtre Becquerel

La marche auto-évitante (1)

• Vincent Beffara (CNRS, Institut Fourier)

Room: Amphithéâtre Becquerel Une marche auto-évitante de longueur <i>n</i> sur le réseau <b>Z</b>^<i>d</i> est un chemin de <i>n</i> pas, issu de l’origine, et qui ne passe jamais deux fois par le même site. Il est facile de voir par un argument de sous-additivité que le nombre <i>C</i><i>_n,d</i> de tels chemins se comporte comme <i>c</i><i>ⁿ</i> pour un certain <i>c</i>∈[<i>d</i>,2<i>d</i>], mais il est extrêmement difficile d’en savoir plus sur ces objets, et essentiellement toutes les questions naturelles qui se posent sont ouvertes (par exemple, quelle est la valeur de <i>c</i>, quel est le diamètre typique d’une grande marche auto-évitante, ou même à quoi ressemblent les termes suivants dans le développement de <i>C</i><i>_n,d</i>).<br> <br> Le but de ces deux exposés est de décrire des progrès récents dans l’étude des marches auto-évitantes, qui sont d’inspiration probabiliste. La première séance sera consacrée à l’aspect historique et physique et aux premières propriétés, qui se montrent de manière élémentaire. <br> Dans la seconde séance, on expliquera la preuve du résultat récent (2012) de Hugo Duminil-Copin et Stanislav K. Smirnov (médaillé Fields 2010) qui donne la valeur de la constante de connectivité <i>c</i> dans le cas du réseau hexagonal (où elle vaut √(2+√2) ; de manière remarquable, la preuve n’utilise que des notions élémentaires de combinatoire et d’analyse complexe.

La marche auto-évitante (2)

• Vincent Beffara (CNRS, Institut Fourier)

Room: Amphithéâtre Becquerel