Les vecteurs mal approchables sont des ensembles fractals jouissant de riches propriétés diophantiennes. A ce titre, ils jouent un rôle crucial dans de nombreux problèmes dépassant le seul cadre de la théorie des nombres et de la géométrie fractale (par exemple en théorie du signal, en physique mathématique ou encore en géométrie convexe).
Après un exposé de quelques-uns des derniers développements dans ce domaine de recherche très actif, nous nous intéresserons à la conjecture de Littlewood et à ses variantes (1930) qui admettent une reformulation naturelle dans le cadre de la théorie des vecteurs mal approchables. Nous montrerons comment l'émergence d’idées relevant de la combinatoire et de la théorie des pavages apériodiques a récemment permis de réfuter ladite conjecture de Littlewood t-adique.
Tous les concepts nécessaires seront définis au cours de l'exposé. Certains des résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec Fred Lunnon (université de Maynooth) et Erez Nesharim (université hébraïque de Jérusalem).