Cet exposé porte sur l'étude d'un polytope convexe aléatoire construit comme l'enveloppe convexe d'un nuage de points aléatoires dans l'espace euclidien de dimension d. Nous débutons par un cas simple, l'enveloppe de (d+1) points indépendants et uniformes dans la boule-unité. Nous généralisons ensuite ce modèle en prenant un nombre quelconque de points uniformes dans un corps convexe donné que nous supposons à bord régulier. Nous nous intéressons en particulier au comportement asymptotique de ce polytope aléatoire lorsque la taille du nuage de points tend vers l'infini. Plus particulièrement, nous obtenons des théorèmes de convergence vers la loi de Gumbel pour la distance de Hausdorff entre le polytope aléatoire et le corps convexe de départ et pour l'aire maximale d'une facette du polytope aléatoire. Ces deux quantités rendent explicites les fluctuations maximales de la frontière du polytope dans les sens radial et longitudinal, qui ressemblent à celles d'autres interfaces aléatoires en dimension 2 (random cluster model sous-critique, marches au hasard orientées...). Nous montrerons comment nos méthodes s'appuient dans les deux cas sur la notion de facette typique du polytope aléatoire, en insistant sur les différences de nature entre les deux convergences des valeurs extrêmes.
Ce travail est une collaboration avec J. E. Yukich (Lehigh University, États-Unis).