La hiérarchie moments-SOS est un schéma numérique permettant d'approcher les solutions d'un problème d'optimisation linéaire posé dans un espace de mesures (de dimension infinie). Les résultats qui sous-tendent ce schéma relèvent à la fois de la géométrie algébrique réelle (Positivstellensatz) et de l'analyse fonctionnelle (Banach-Alaoglu). Dans un premier temps, j'introduirai la hiérarchie moments-SOS et présenterai quelques problèmes qu'elle permet de résoudre. Puis, j'énoncerai un théorème de convergence général qui couvre la plupart des applications actuelles du schéma numérique. Enfin, j'exposerai plus en détails le problème du calcul du volume d'un ensemble semi-algébrique par hiérarchie moments-SOS, en montrant notamment comment l'étude des EDP permet d'améliorer la convergence du schéma.
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Title: Moment-SOS hierarchy and converging volume approximation.
Abstract: The moment-SOS hierarchy is a numerical scheme that allows the approximation of solutions of an infinite dimensional linear oprimization problem with measures as decision variables. The underlying results come from real algebraic geometry (Positivstellensatz) and functional analysis (Banach-Alaoglu). I will first introduce the moment-SOS hierarchy and present some problems it can help to solve. Then, I will state a general convergence theorem that holds for most of the current applications of the numerical scheme. Finally, I will give more details on the problem of computing the volume of a semialgebraic set using the moment-SOS hierarchy, and I will in particular show how the study of PDEs can improve the convergence of the scheme.