10h-10h50. David Wahiche. Théorèmes de multiplication pour les partitions auto-conjuguées
Résumé : En 2011 Han et Ji, et plus récemment Walsh et Warnaar, ont prouvé des théorèmes de multiplication-addition pour des partitions d'entiers. De ces derniers, on peut obtenir beaucoup d'applications intéressantes permettant des généralisations de formules d'équerre, parmi lesquelles des généralisations de la formule de Nekrasov-Okounkov. Dans cet exposé, j'expliquerai comment prouver des analogues et des extensions de la plupart de ces résultats aux partitions auto-conjuguées en utilisant les propriétés de la décomposition de Littlewood.
11h-11h50. Colin Faverjon. Relations algébriques entre les valeurs de séries de Hecke-Mahler
Résumé : La méthode de Mahler, initiée à la fin des années 1920 par K.Mahler, s'intéresse aux fonctions analytiques de plusieurs variables, à coefficients algébriques, solutions d'équations linéaires pour un opérateur de la forme : /z/_/i/ -> /M_i/(/z_1/,...,/z_n/), où /z_1/,...,/z_n/ sont des nombres complexes, et /M_1/,...,/M_n/ sont des monômes. Elle tend à montrer que les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions aux points algébriques non nuls proviennent des relations algébriques entre les fonctions elles-même. Un exemple historique de fonctions accessibles par cette méthode sont les séries de Hecke-Mahler, /f/(/w/,/z/) = \sum_/n /[/nw/]/z^n/, pour lesquelles /w/ est un nombre réel quadratique irrationnel. K. Mahler a démontré la transcendance des valeurs de ces fonctions en tout point algébrique non nuls du disque unité. Ces travaux ont été repris, notamment, par Ku. Nishioka et D. W. Masser, qui ont énoncé à la fin du siècle dernier certains critères d'indépendance algébrique.
Dans cet exposé, je montrerai comment les récents résultats obtenus en méthode de Mahler, d'un travail commun avec B. Adamczewski, permettent de déterminer l'ensemble des relations algébriques entre les nombres /f/(/w/,/a/), où /w/ parcourt les nombres réels quadratiques irrationnels et /a/ les nombres algébriques non nuls du disque unité.
13h40-14h30. Jakub Konieczny. Higher order Fourier analysis
Abstract: Higher order Fourier analysis is a relatively new field of study with some remarkable applications in additive combinatorics.
When utilizing Fourier-analytic methods in number theory, one often deals with averages of the form $\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f(n) e^{i \alpha n}$, where $N$ is a large integer, $\alpha \in \mathbb{R}$, and $f \colon \{0,1,...,N\} \to \mathbb{C}$ encodes some number-theoretic information. If the aforementioned averages are small for all $\alpha$ then, in many contexts, $f$ can be considered to be pseudorandom. For instance, if $A \subset \{0,1,...,N-1\}$ is a set of integers containing $a$ elements and if the balanced characteristic function $1_A - a/N$ is pseudorandom in the sense described above then $A$ contains approximately $a^{3}N^{2}/4$ $3$-term arithmetic progressions, just like a random set of the same size.
Higher order Fourier analysis generalises the techniques alluded to above in such a way that they are applicable to more complicated patterns, such as arithmetic progressions of length $4$ and greater. The linear phase functions $e^{i \alpha n}$ are replaced with more complex, but still tractable, expressions such as $e^{i \alpha n^2}$ or $e^{i \alpha n[\beta n]}$, called nilsequences. A sequence $f$ is considered to be pseudorandom if has small Gowers uniformity norms - a concept introduced by Gowers in his work on a new proof of Szemeredi's theorem. The Inverse Theorem for Gowers Uniformity norms, due to Green, Tao and Ziegler, provides a connection between correlations with nilsequences and Gowers uniformity norms. These ideas were heavily utilised, for instance, in the work of Green and Tao on additive patterns in the primes.
During my talk, I will provide an introduction to the concepts mentioned above, and also briefly discuss joint work with Byszewski and Müllner on higher order Fourier analysis approach to automatic sequences.
14h40-15h30. Isaac Konan. Multi-grounded partitions and character formulas
Abstract: In 1980, the Lepowsky-Wilson proof of Rogers-Ramanujan identities unveiled a profound connection between the representation theory of Lie algebras and the partition theory. The idea behind the proof is twofold. Using vertex operators, Lepowsky and Wilson interpret a basis of Lie-algebras' standard modules as a family of partitions and then deduce a partition identity through the specialization of the Weyl-Kac character formula. In this spirit, subsequent works of Capparelli, Meurnann, Primc, and others led to numerous partition identities.
In this talk, we present an alternative method from joint work with J.Dousse. Our construction of the module's basis uses perfect crystals instead of vertex operators. We then introduce a new type of partition, the multi-ground partitions, which allows us to interpret the basis in terms of partitions. The novelty of this method consists of computing the unspecialized character formulas for Lie algebras' standard modules as the generating functions of multi-grounds partitions. We end the presentation by giving explicit examples for level one standard modules of certain types.