Un théorème de Lichnerowicz (1958) indique que pour les variétés riemanniennes en dimension n dont la courbure de Ricci est minorée par n-1, la plus petite valeur propre positive du Laplacien vérifie λ1 ≥ n. Cette borne est optimale, car il y a égalité pour la sphère. Elle a depuis été étendue au cadre des espaces métriques mesurés à courbure positive. Dans cet exposé, je présenterai un résultat de stabilité : si la plus petite valeur propre est proche de n, alors la mesure image du volume par une fonction propre normalisée est proche d’une loi beta de paramètre n/2, avec une borne optimale en distance de transport optimal L1. Travail en collaboration avec I. Gentil et J. Serres.