La notion d'arrangement de Shi, connue dans les groupes affines, peut être étendue à un groupe de Coxeter
quelconque W en utilisant les notions de profondeur infinie et de petites racines. Avec ce vocabulaire,
une région de l'arrangement de Shi correspond avec l'ensemble des éléments de W qui inversent le même ensemble
de petites racines : on parle de petit ensemble d'inversion.
Etant donné que l'application qui a un élément associe son petit ensemble d'inversion (ou, de façon equivalente,
sa région de Shi) n'est pas injective, on est amené à se restreindre à l'ensemble des éléments bas où cette
application est injective. Une conjecture de Dyer et Hohlweg ('16) propose que les éléments bas sont en fait en
bijection avec les régions de Shi.
L'objectif de cette présentation est de donner un schéma de la preuve de cette conjecture dans les groupes de
rang 3. On insistera en particulier sur l'algorithmique des groupes de Coxeter et de leur systèmes de racines :
comment calculer des exemples de systèmes de racines, comment en obtenir une représentation graphique en rang
3 ou 4, interprétation géométrique des ensembles d'inversion et de la profondeur infinie.