Bases de Grobner lexicographiques de deux polynomes en x et y modulo un polynome en x

par Dr Xavier Dahan (Tohoku University)

jeudi 9 déc. 2021, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

https://bbb.unilim.fr/b/vac-m6r-7dv

Soit T(x) ∈ k[x]  un polynôme non-constant unitaire et écrivons R = k[x]/(T) l'anneau quotient.

Considérons deux polynômes a(x, y), b(x, y) ∈ R[y].

Dans un premier temps on suppose que T=p^e est une puissance d'un polynôme irréductible p.

On introduit un nouvel algorithme qui calcule une base de Gröbner lexicographique du système

(a, b, p^e), base sur une suite "modifiée" de sous-résultants de a et b modulo p^e, rendue possible

grâce au théorème de préparation de Weierstrass. Le théorème de structure de Lazard

concernant les bases de Gröbner lexicographiques en deux variables en constitue le socle théorique.

Dans un second temps, on géneralise cet algorithme a un polynôme T quelconque,

via un procédé "local/global" accompli par une extension de la méthode dite d' "évaluation

dynamique". Cette dernière était jusqu'alors restreinte a un polynôme T sans facteurs carrés.

L'algorithme produit des scindages du type "inversible/nilpotent", généralisant les scindages

"inversible/zéro" habituellement rencontres en évaluation dynamique classique.

On présentera les résultats expérimentaux d'une implémentation en Magma,

qui montrent souvent des gains importants pour les temps de calcul de bases

de Gröbner lex. d'un système (a,b,T) compares a la méthode "standard"  F4 + FGLM.