La conjecture de Mordell prédit qu’une équation diophantienne définissant une courbe projective lisse de genre au moins deux n’a qu’un nombre fini de solutions dans un corps de nombres donné. Le siècle qui s’est écoulé depuis son énoncé, en 1922, a vu plusieurs approches, plusieurs démonstrations, ainsi que de vastes extensions dont la plupart sont encore conjecturales. L’exposé s’efforcera de retracer cette histoire.