Séminaire Algèbre ICJ

Exposé de Roland Berger (UJM) : ``Calcul de Koszul des algèbres préprojectives''

Europe/Paris
112 (UCBL, Braconnier)

112

UCBL, Braconnier

Description

Depuis 1998, un thème intéressant plusieurs auteurs (Erdmann et Snashall, Crawley-Bovey, Etingof et Ginzburg, Etingof et Eu, Eu et Schedler) porte sur les algèbres préprojectives et le calcul explicite de leur cohomologie de Hochschild. Il était naturel de distinguer le cas d'un carquois Dynkin du cas non Dynkin. Le cas Dynkin est celui de la dimension finie des algèbres, et on a pu alors décrire le calcul de Tamarkin-Tsygan (incluant plus de structures algébriques, comme un cup-produit). Cependant la dualité de Poincaré-Van den Bergh se réalise seulement dans le cas non Dynkin, les algèbres étant alors Calabi-Yau.

Dans cet exposé, je montrerai comment mettre à profit le fait que les algèbres préprojectives sont définies par des relations quadratiques et comment leur calcul de Koszul associé satisfait à une dualité de Poincaré, indépendamment de l'hypothèse Dynkin ou non. On en déduira une notion de Calabi-Yau adaptée à toute algèbre quadratique, appelée Koszul complex Calabi-Yau, en terme de catégories dérivées.

 C'est un travail en commun avec Rachel Taillefer, paru au JLMS en 2021.