Mot des organisateurs Room: Salle de Réunion - bâtiment M2 - Cité Scientifique

Modélisation d’écoulement multiphasique avec deux phases miscibles

• Hélène Mathis (Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Nantes)

Room: Salle de Réunion - bâtiment M2 - Cité Scientifique Cet exposé traite de la modélisation d’écoulements compressibles faisant intervenir un liquide, sa vapeur et un gaz. Le gaz et la vapeur forment un mélange parfaitement miscible, qui est lui-même immiscible avec le liquide. Ces hypothèses de modélisation se traduisent en contraintes mixtes sur les volumes de chacune des phases. L’étude de l’équilibre thermodynamique du mélange, à l’aide d’outils d’analyse convexe, nous permet de caractériser l’entropie du système et ses propriétés. On retrouve notamment que la vapeur et le gaz satisfont la loi de Dalton. On s’intéresse ensuite à la dynamique du fluide, décrite par un système de type Euler. En s’appuyant sur le formalisme thermodynamique et la structure entropique vus en première partie, on étudie les fermetures du système et son hyperbolicité. On dérivera pour finir un système de relaxation associé.

Optimisation de forme en dynamique des populations

• Yannick Privat (Université de Strasbourg Institut de Recherche Mathématique Avancée (IRMA) )

Room: Salle de Réunion - bâtiment M2 - Cité Scientifique Dans ce travail, on s’intéresse à des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources. La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : comment répartir de façon optimale des ressources dans un habitat afin d’assurer la survie des espèces ? Elle peut se reformuler de différentes manières conduisant à optimiser des critères spectraux associées à un opérateur elliptique avec drift ou une fonctionnelle (la taille de la population) faisant intervenir les états stationnaires de l’équation logistique. L’inconnue est alors le domaine occupé par les ressources. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux résultats sur l'analyse qualitative de ces problèmes : l’existence de domaines optimaux, la caractérisation complète ou partielle des solutions, leur propretés de symétrie. Il s'agit de travaux en cours, en collaboration avec Grégoire Nadin (univ. Paris 6) et Idriss Mazari (univ. Wien).

Des méthodes spectrales pour résoudre numériquement l'équation de Boltzmann

• Thomas Rey (Laboratoire Paul Painlevé)

Room: Salle de Réunion - bâtiment M2 - Cité Scientifique L'équation de Boltzmann est un des piliers de la théorie cinétique des gaz. Celle-ci, établie indépendamment par Maxwell et Boltzmann dans les années 1860, peut-être utilisée pour modéliser de nombreux types de systèmes complexes, comme la rentrée d'une sonde dans l'atmosphère ou des écoulement microfluidiques dans des puces à ADN. La simulation numérique efficace d'une telle équation (ainsi que de ses généralisations) est donc d'une importance croissante, et est un question encore largement ouverte. Nous présenterons dans cet exposé une classe de méthodes efficaces et précises pour résoudre numériquement de telles équations, ainsi que leurs propriétés mathématiques. Si le temps le permet, nous présenterons aussi quelques résultats récents, en collaboration avec Lorenzo Pareschi d'une part, et Alexandre Mouton d'autre part.

Résultat d'existence et d'unicité pour des systèmes à dérivées croisées

• Carole Rosier (LMPA Joseph Liouville, ULCO)

Room: Salle de Réunion - bâtiment M2 - Cité Scientifique Dans ce travail, nous nous intéressons au problème de Cauchy pour un système à dérivées croisées. L'analyse d'un tel système est connue pour être difficile en raison du couplage des termes dérivés d'ordre supérieur. En utilisant des estimations d'énergie, on obtient un résultat d'existence globale pour des solutions positives. Une extension d'un résultat de régularité due à Meyer permet de prouver que le gradient de la solution appartient à l'espace L^r((0, T) × Ω) avec r> 2. Cette régularité obtenue pour r = 4 implique l'unicité de la solution. Finalement, nous établissons un principe du maximum grâce à des termes sources qui permettent de confiner la solution.