Dans l'espace euclidien (et même sur une variété riemannienne lisse avec courbure de Ricci bornée inférieurement), il est bien connu que le mouvement brownien satisfait un principe de grandes déviations (LDP) et cela peut être dérivé de nombreuses manières différentes, en s'appuyant également sur des outils puissants tels que les estimations gaussiennes du noyau de la chaleur. Dans cet exposé, nous visons à prouver qu'il en est de même sur les espaces $RCD(K,\infty)$, à savoir les espaces métriques mesurés avec courbure de Ricci synthétique bornée inférieurement au sens de Lott-Sturm-Villani et une structure essentiellement riemannienne.
La structure non lisse comporte plusieurs difficultés techniques (par exemple le manque de compacité locale et d'estimations pour le noyau de la chaleur), nous empêchant de suivre les stratégies fonctionnant dans le cadre riemannien. Néanmoins, en grande généralité, il existe une forte interaction entre grandes déviations, solutions de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi et $\Gamma$-convergence, donc entre probabilités, EDP et calcul des variations. Pour cette raison, un accent particulier sera mis sur une telle interaction, qui nous permettra de prouver un LDP à la fois pour le noyau de la chaleur et le mouvement brownien.
(joint work avec N. Gigli et D. Trevisan)
Clément Sarrazin