Extinction en temps fini des solutions de certains problèmes paraboliques quasi-linéaires et singuliers

par Paul Sauvy (Université de Toulouse 1 - Capitole)

vendredi 28 nov. 2014, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

XLIM Salle X.203

Dans cet exposé, nous présenterons des résultats concernant un phénomène d’absorption, intervenant en particulier dans certaines réactions chimiques modélisées par des équations dites de Langmuir-Hinshelwood. Ce phénomène, modélisé par une équation parabolique de type équation de la chaleur, présente la particularité de faire intervenir une non-linéarité à la fois singulière et discontinue dans le terme d’absorption ; ce qui entraine certaines difficultés techniques pour étudier directement ce problème au moyen de méthodes classiques d’analyse. Dans un premier temps, nous démontrerons donc l’existence de solutions d’un tel problème via l’étude préalable d’un problème régularisé convenablement choisi, puis d’un passage à la limite. Nous nous intéresserons ensuite au comportement asymptotique des solutions ; c’est-à-dire à leur devenir en temps long. Plus précisément, nous démontrerons que les solutions d’un tel problème s’éteignent en temps fini sur tout le domaine d’étude ; et ceci même en partant d’une condition initiale strictement positive. Pour ce faire, nous démontrerons que la norme L2 de toute solution satisfait une certaine inégalité différentielle, dérivant d’une estimation d’énergie couplée à une inégalité du type Gagliardo-Nirenberg.