Lors de cet exposé, je présenterai des outils et des notions issus de deux des facettes de l'Analyse. D'un côté, l'espace de Hardy et les opérateurs de composition sont issus de l'analyse complexe. De l'autre, les semigroupes sont des objets naturels notamment pour l'étude des EDPs. Ces deux clans n'ayant a priori rien à se dire, je les présenterai, les confronterai et les forcerai à dialoguer.