En quelque manière, les fonctions zêta sont faites pour compter
(ou mieux dit pour énumérer) quelque chose. La fonction zêta
de Dedekind énumère les ideaux attachés à un corps de nombres,
arrangés par leur norme. Le cas spécial de la fonction de Riemann
est très bien connu. Si l'on veut, on peut aussi interpréter
les valeurs $\zeta(s)$, où $s>1$ parcourt les entiers, comme des probabilités.
Il existe une énorme richesse de fonctions zêta. Après les fonctions
totalement standard, on va traiter des fonctions zêta en théorie des
groupes (nettement moins connues), et on va terminer avec un regard sur une
classe de fonctions zêta, celles de Kähler, qui sont pratiquement
tombées dans les oubliettes de l'arithmétique.