Je parlerai d'un travail en commun avec Ciliberto, Galati et Knutsen. Dans un premier temps, je décrirai les composantes irréductibles des espaces de modules de surfaces d'Enriques que nous avons récemment identifiées, et prouverai leur unirationalité ou uniréglage selon les cas. Si le temps le permet, j'étudierai ensuite les modules des courbes sur les surfaces d'Enriques correspondantes.