Sur une variété de courbure négative compacte, chaque classe d’homotopie libre contient exactement une géodésique fermée. Le spectre marqué est l’application qui à une classe d’homotopie libre de courbe, associe la longueur de la géodésique en question. Une question de problème inverse assez célèbre est de savoir si cette application détermine la métrique sous jacente (ou pas !). Dans un article récent (2018), C. Guillarmou et T. Lefeuvre montrent que si deux métriques ont le même spectre marqué, et sont suffisement proches au sens C^k (avec k grand), alors effectivement ce sont les mêmes métriques.
Je présenterai le résultat d’une exploration réalisée avec T. Lefeuvre, pour savoir comment transposer ce résultat au cas d’une variété non pas compacte, mais dont les bouts sont des pointes hyperboliques. Je viendrai donc avec des bonnes et des mauvaises nouvelles !