Il est bien connu qu'un corps différentiel de caractéristique 0 a
une clôture différentielle, et que celle-ci est unique à
isomorphisme près. La question se pose alors naturellement : en est-il
de même pour la clôture aux différences d'un corps aux
différences ?
Un corps aux différences K est existentiellement clos si tout
système fini d'équations aux différences qui a une solution dans une
extension de K a déjà une solution dans K. On dit que L est une
clôture aux différences du corps aux différences K si L est
existentiellement clos, et se K-plonge dans toute extension aux
différences existentiellement close M de K. En termes
modèle-théoriques, nous voudrions montrer l'existence, et
éventuellement l'unicité du modèle premier de la théorie ACFA
au-dessus de K. (ACFA est la théorie des corps aux différences
existentiellement clos).
Je montrerai par des exemples que ces clôtures n'existent pas
toujours, même en imposant les conditions naturelles sur le corps aux
différences K.
On peut renforcer la notion de clôture, en exigeant par exemple que
tout système dénombrable d'équations aux différences qui a une
solution dans une extension a une solution. Si K est un corps aux
différences de caractéristique 0 algébriquement clos et dont le
corps fixe est pseudo-fini et satisfait la condition analogue pour les
équations polynômiales, on peut alors montrer qu'une clôture forte
de K existe et est unique à isomorphisme près.
En termes modèle-théoriques, cela correspond à l'existence et
l'unicité de modèles kappa-premiers au-dessus de K, pourvu que K
soit algébriquement clos de caractéristique 0, et que son corps
fixé soit aleph1-saturé. Le réultat se généralise aux cardinaux non-dénombrables.
Ce résultat ne se généralise pas aux corps aux différences de
caractéristique positive.