Les corps de fonctions ont sur les corps de nombres, dont ils sont proches
par bien des aspects, l'avantage d'être associés à un objet géométrique :
par définition même, une courbe algébrique sur un corps fini. Ainsi, la
théorie du corps de classes pour les corps de fonctions admet une
interprétation géométrique éclairante, dégagée par Lang et Rosenlicht dans
les années 1950 et déjà évoquée dans ce séminaire. Deligne en a donné une
preuve particulièrement élégante dans le cas non ramifié.
Les progrès récents en théorie de Hodge p-adique (Fargues, Fontaine,
Scholze) ont permis de réaliser que des structures géométriques, nettement
plus exotiques mais très naturelles, sont aussi sous-jacentes à l'étude
arithmétique des corps locaux, y compris en caractéristique mixte. Fargues
a ainsi obtenu une démonstration géométrique de la théorie du corps de
classes local analogue à la preuve de Deligne mentionnée ci-dessus.
L'exposé présentera les grandes lignes de cette démonstration.