Soit $f:R^2 \to R$ un champ Gaussien centré lisse stationnaire. On s'intéresse à la probabilité que l'ensemble $\{ f \geq -\ell \}$ contienne chemin continu qui traverse le rectangle $[0,3R]\times [0,R]$ de gauche à droite. Ici, $R\to+\infty$ et $\ell$ est un paramètre réel fixé. Ce type d'événement est appelé événement croisement. Nous présenterons deux instances où l'étude de la probabilité de croisement fait naturellement intervenir le bord de cet événement.
En premier lieu, l'étude de certaines 'influences', qui sont des fonctionnelles sur le bord de l'événement de croisement, permet de montrer un résultat de transition de phase des probabilités de croisement au paramètre auto-dual $\ell=0$. Dans un second temps, nous donnerons une formule exacte pour la covariance entre deux événements de croisement en termes de probabilités de pivot. La démonstration passe par une étude précise de la géométrie du bord des événements pivots. Ce dernier résultat se généralise en fait aux événements 'topologiques' sur les lignes de niveau de champs Gaussiens sur des variétés lisses.
Les résultats que je présenterai ont été réalisés en collaboration avec Hugo Vanneuville ainsi que Stephen Muirhead et Dmitry Beliaev.
Hugo Duminil-Copin