À la croisée de la théorie de la mesure et de la géométrie, l’inégalité de Pólya-Szegő affirme que l’énergie des fonctions de Sobolev est décroissante pour le réarrangement symétrique décroissant. Cette inégalité, en lien avec l’inégalité isopérimétrique (et donc l’inégalité arithmético-géométrique), a notamment permis d’expliciter des maximiseurs dans l’inégalité de Sobolev. Je sais, ça fait beaucoup d’inégalités, mais j’introduirai toutes les notions nécessaires, et j’apporterai des preuves (élémentaires !) des résultats.