Séminaire de géométrie algébrique

Mathieu Florence (IMJ) : Questions de rationalité pour les formes des espaces de modules de courbes marquées.

vendredi 17 novembre 2017 de au (Europe/Paris)
at Angers ( I 001 )
Description

Soit X une variété algébrique complexe. Parmi les propriétés classiques de géométrie birationnelle que X peut posséder, citons les suivantes (par ordre décroissant de force): être rationnelle, stablement rationnelle, rétract rationnelle, unirationnelle. Le cas où X est un espace de modules de courbes marquées M_{g,n} a été tout particulièrement étudié. Sorti le cas facile g=0, Il est connu (Belorousski et Logan) que M_{g,n} n'est unirationnelle que pour un nombre fini de couples (g,n) . Dans cet exposé, nous parlerons d'un travail en commun avec Zinovy Reichstein, dans lequel nous étudions, sur un corps F arbitraire, le cas des formes de M_{g,n}. Il s'agit de variétés algébriques définies sur F, devenant isomorphes à M_{g,n} sur une clôture algébrique de F. Nous démontrons en particulier que toute forme de M_ {0,n} est rationnelle sur F, pour tout n>=5 impair. Ceci généralise le cas de M_{0,5}, équivalent à la rationalité des surfaces de Del Pezzo de degré 5 (Manin, Swinnerton-Dyer). On expliquera pourquoi les formes de M_{0,2n} ne sont pas rétract rationnelles sur F en général, ainsi que des résultats positifs pour de nombreux couples (g,n), lorsque g>=1. Notre approche consiste à effectuer des constructions 'galoisiennes', où les n points marqués jouent tous le même rôle.